Алгоритм решения задачи Рост дендритов

Групповой проект. Этап 2

Дворкина Е.В.,

Чемоданова А.А.,

Серёгина И.А.,

Волгин И.А.,

Александрова У.В.,

Голощапов Я.В.

Российский университет дружбы народов, Москва, Россия

9 апреля 2025

Cостав исследовательской группы

  • Александрова Ульяна Вадимовна
  • Волгин Иван Алексеевич
  • Голощапов Ярослав Вячеславович
  • Дворкина Ева Владимировна
  • Серёгина Ирина Андреевна
  • Чемоданова Ангелина Александровна

Докладчик

  • Волгин Иван Алексеевич
  • студент учебной группы НФИбд-01-22
  • Российский университет дружбы народов
  • https://github.com/iavolgin

  • Чемоданова Ангелина Александровна
  • студент учебной группы НФИбд-02-22
  • Российский университет дружбы народов
  • https://github.com/aachemodanova

Цели и задачи

  • Описать алгоритм решения задачи моделирования роста дендритов

Описание алгоритма

Шаг 1: Задание начальных условий

  • Плотность ρ
  • Удельная теплота плавления L
  • Теплоемкость cp
  • Коэффициент теплопроводности κ
  • Температура плавления Tm
  • Коэффициент поверхностного натяжения γ
  • Параметры анизотропии
Физические свойства вещества на примере Гафния

Начальные условия:

  • Исходная температура расплава T
  • Безразмерное переохлаждение S = Lcp​(Tm​ − T​)​
  • Граничные условия
  • Условия теплообмена с окружающей средой

Шаг 2: Настройка симуляционной сетки и инициализация затравки

  • Размер сетки N × N

  • Пространственный шаг h

  • Центральная область твердой фазы

  • Параметры формы и размеров

Функция двух переменных Ф, заданная на структурированной сетке

Шаг 3: Расчет температурного поля

  • Уравнение теплопроводности

$$ \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \kappa \nabla^2 T \tag{1} $$

  • Метод конечных разностей
  • Выбор временного шага Δt и пространственного шага h важен для стабильности и точности расчетов.

Шаги расчета:

  • Вычислить новое распределение температуры на каждом шаге времени t;
  • Обновлять значения температуры в каждой точке сетки;
  • Повторять вычисления до достижения стационарного состояния или заданного времени.

Шаг 4: Моделирование роста дендритов

Критерий затвердевания: Когда температура в точке падает ниже температуры плавления Tm, вещество в точке начинает затвердевать.

Условие Стефана:

$$ V = \frac{\kappa}{\rho L} (\nabla T|_s - \nabla T|_l) \tag{2} $$

Условие Гиббса-Томсона:

$$ T_b = T_m \left(1 - \frac{\gamma T_m}{\rho L^2 R}\right) \tag{3} $$

Определение фрактальной размерности

N(r) ∼ rD

где N(r) — число точек внутри круга радиуса r.

  • Выбрать множество точек, принадлежащих образованной структуре
  • Для разных значений r подсчитать количество точек внутри круга
  • Построить график log (N(r)) от log (r)
Фазовое и температурное поле при росте дендрита

Шаг 5: Анализ структуры дендритов

  • Морфологический анализ
  • Корреляционный анализ

Исследование влияния теплового шума δ

  • Добавлять случайное возмущение к температуре ηi, jδ, где ηi, j — случайная величина из отрезка [−1, 1].
  • Повторить моделирование для разных δ
  • Сравнить результаты

Шаг 6: Визуализация процесса

Применение графических средств для иллюстраций этапов формирования дендритов

Рост дендрита
Рост дендрита
Рост дендрита

Выводы

Описали алгоритм моделирования роста дендритов, включающий все ключевые этапы.