Шаг 1: Задание начальных условий

• Плотность ρ
• Удельная теплота плавления L
• Теплоемкость cp
• Коэффициент теплопроводности κ
• Температура плавления T_m​
• Коэффициент поверхностного натяжения γ
• Параметры анизотропии

Начальные условия:

• Исходная температура расплава T_∞​
• Безразмерное переохлаждение S = Lcp​(T_m​ − T_∞​)​
• Граничные условия
• Условия теплообмена с окружающей средой

Шаг 2: Настройка симуляционной сетки и инициализация затравки

• Размер сетки N × N

• Пространственный шаг h

• Центральная область твердой фазы

• Параметры формы и размеров

Шаг 3: Расчет температурного поля

• Уравнение теплопроводности

$$ \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \kappa \nabla^2 T \tag{1} $$

• Метод конечных разностей
• Выбор временного шага Δt и пространственного шага h важен для стабильности и точности расчетов.

Шаги расчета:

• Вычислить новое распределение температуры на каждом шаге времени t;
• Обновлять значения температуры в каждой точке сетки;
• Повторять вычисления до достижения стационарного состояния или заданного времени.

Шаг 4: Моделирование роста дендритов

Критерий затвердевания: Когда температура в точке падает ниже температуры плавления T_m, вещество в точке начинает затвердевать.

Условие Стефана:

$$ V = \frac{\kappa}{\rho L} (\nabla T|_s - \nabla T|_l) \tag{2} $$

Условие Гиббса-Томсона:

$$ T_b = T_m \left(1 - \frac{\gamma T_m}{\rho L^2 R}\right) \tag{3} $$

Определение фрактальной размерности

N(r) ∼ r^D

где N(r) — число точек внутри круга радиуса r.

• Выбрать множество точек, принадлежащих образованной структуре
• Для разных значений r подсчитать количество точек внутри круга
• Построить график log (N(r)) от log (r)

Шаг 5: Анализ структуры дендритов

• Морфологический анализ
• Корреляционный анализ

Исследование влияния теплового шума δ

• Добавлять случайное возмущение к температуре η_i, jδ, где η_i, j — случайная величина из отрезка [−1, 1].
• Повторить моделирование для разных δ
• Сравнить результаты

Шаг 6: Визуализация процесса

Применение графических средств для иллюстраций этапов формирования дендритов

Выводы

Описали алгоритм моделирования роста дендритов, включающий все ключевые этапы.